Wszystkie dzisiejsze informacje o epidemii, a szczególnie prognozy osób zarażonych i  techniki obrony – opierają się na modelach matematycznych opracowanych jeszcze w latach 30 XX wieku (oczywiście rozwiniętych i wykorzystujących coraz to silniejsze komputery – sama metodologia – analogiczna). Początek XX wieku to dobry czas na prace teoretyczne, bo naukowcy mieli dostęp do ogromnej bazy danych empirycznych  – w XVII, XVII, XIX wieku i początku XX – ludność wielu krajów była dziesiątkowana przez choroby zakaźne  – ospa zakaźna (tu wielkie podziękowanie dla wiejskiego lekarza z Anglii – Jenner – dzięki któremu zaczęto ją eliminować pierwszymi szczepieniami ochronnymi po 1800 roku), tyfus plamisty czy dżuma. Statystyki przeżywalności z ówczesnych czasów są okrutne – nawet do 30% dzieci nie dożywało okresu późnego dorastania padając ofiarą zakaźnych chorób, a same epidemie dziesiątkujące całą ludność miast czy krajów – były na porządku dziennym.

Model matematyczny rozprzestrzeniania się choroby zakaźnej zawdzięczamy pracom Kermacka-McKendricka, którzy opublikowali ją w kilku pracach po roku 1927. Model też znany wszystkim lekarzom pod nazwą SIR podlegał wielu modyfikacjom, ale do dziś spełnia swoją rolę w przewidywaniu procesu zachorowań.  Sam ten proces (ilość chorych w czasie) jeśli mamy do czynienia z epidemią, przebiega zwykle bardzo podobnie, a wykres ma charakter „kapelusza” z powolnym startem, potem bardzo silnym wręcz lawinowym,  narastaniem, osiągnięciem maksimum i następnie spadkiem przy wygaszaniu choroby. Kermack-McKendrick opisali to teoretycznie i w dobry sposób pokazali dokładność na danych chorobowych – tu wykres pokazywany wielokrotnie w pracach – wyniki historycznej epidemii dżumy w Bombaju w roku 1905.

Teoria Kermacka-McKendricka  zwana pod nazwą SIR (od S – suspectible – podatni, I – infected – zarażeni, R – recovered – wyzdrowieni) zakłada właśnie podział całej populacji (w klasycznym modelu zamkniętej populacji na danym obszarze) na te trzy grupy i stopniowe przechodzenie w czasie, ludzi od jednej grupy do drugiej.

Podatni na chorobę zarażają się przechodząc od S do I z tzw. transmission rate (ρ) – co można rozumieć jako stopień infekowania, a następnie od I do R z tzw. removal rate (α) – współczynnikiem zdrowienia (lub niestety może właściwiej kombinowanego zdrowienia i umierania).  Każda z chorób ma inne ρ i α i właśnie to powoduje, że niektóre są bardziej groźne, a niektóre mniej, i że jedne wybuchają i przebiegają szybciej, a drugie łagodniej (właśnie stosunek tych dwóch czynników i ilości zakażonych na początku mówi czy jest możliwa epidemia czy też proces wygaśnie samoistnie). Tak naprawdę R (recovered) właściwie stanowią grupę nazywaną czasami removed (usunięci), bo z punktu widzenia modelu rozprzestrzeniania są choroby w niej znajdują się także zmarli oraz chore osoby na izolacji szpitalnej i kwarantannie).

Sam model można w najprostszej postaci SIR pokazać jako:

Co jest układem różniczkowych równań nieliniowych gdzie Kermacka-McKendricka  mogli tylko w pewnych przypadkach rozwiązać to analitycznie, ale obecnie dostaje się wyniki bardzo szybko korzystając z brutalnej siły obliczeniowej komputerów. Wynik daje zawsze podobne układy „kapelusza” – tu poniżej rysunek z Wikipedii  – gdzie zielony to właśnie ilość zarażonych w czasie, a niebieska krzywa to S (narażeni, podatni) a R – ozdrowieni (zmiana w czasie).

Teraz w zależności od choroby (czyli jej współczynników ρ i α) sam kształt kapelusza może być różny – bardziej wyskakujący do góry i pokrywający prawie wszystkich podatnych od razu (czyli cała populacja choruje lawinowo – coś co przypomina Włochy – tam transmission factor był bardzo duży na początku bo wszyscy bawili się z pierwszymi zakażonymi przy kolacjach ) lub bardziej spłaszczony i rozciągnięty w czasie (miejmy nadzieję, że dotyczy to Polski – szybka izolacja). Jest tylko jeden problem – te współczynniki dla chorób, jak widać są zmienne w zależności od zachowania ludzi (przy zarażeniach), a też i różne dla różnych typów wirusów i  zwykle dobiera się je empirycznie. Dla dobrego prognozowania potrzeba danych – a więc de facto – pierwszej epidemii. Na razie przy koronawirusie zakładamy różne wartości i je modyfikujemy, ale nie możemy być pewni wyniku prognoz. Nie wiemy więc dokładnie kiedy, ale wiemy co wpływa i jak możemy próbować się bronić. Należy też pamiętać, że klasyczny model SIR to całkowicie zamknięta populacja bez nowych zakażonych z zewnątrz, szczepionek czy też izolowania chorych – a więc idealnie odpowiadałby sytuację statków wycieczkowych z koronawirusem, które nie zawijałyby do portu, ale też wszyscy dalej bawiliby się bez żadnych zabezpieczeń przy drinkach i skocznej muzyce.

Ale zawsze lepiej mieć jakikolwiek model i jak więc mamy przeciwdziałać w chorobie  – popatrzmy na model SIR

• Przede wszystkim dążymy do izolacji populacji na danym obszarze (np. zamykając granice, izolując miasta) i nie wprowadzamy nowych zarażonych – bo wówczas nasz klasyczny model SIR przybiera bardziej rozwiniętą postać (ale wtedy wszystkie wyniki są o wiele bardziej negatywne i nie jesteśmy w stanie „kontrolować kapelusza”).
• Próbujemy wpływać na współczynniki ρ i α. Przez higienę, mycie rąk, maseczki, stroje ochronne, duży dystans między sobą i brak zgromadzeń – radykalnie zmniejszamy transmission rate – stopień infekowania. Mamy też nadzieję (i niektóre wyniki badań to potwierdzają), że wirus staje się mniej aktywny przy wyższych temperaturach, wiec może w kolejne ciepłe dni i 20 stopniach samo ρ spadłoby do zera – i problem by zanikł. Z drugiej strony (α) szpitale i naukowcy prześcigają się w stosowaniu nowych terapii na samą chorobę – to próba zwiększenia recovery rate – współczynnika zdrowienia. W ten sposób kapelusz zdecydowanie będzie się szybko obniżał po osiągnięciu maksimum, a same zarażenia mogą postępować wolniej przez szybsze przechodzenie z I do R.
• Próbujemy zwiększyć populację R a zmniejszyć liczbę S (podatnych) poprzez wprowadzanie ludzi na kwarantannę (obniżamy możliwość rozprzestrzeniania) , a S spadnie też jeśli nie będziemy wychodzić z domu.
• Próbujemy maksymalnie izolować chorych (I) – a więc iloczyn ρI staje się mniejszy i wolniej zarażamy populację podatnych
• Trwają intensywne prace nad szczepionką – jeśli ją mamy – można zmodyfikować nasz model SIR (a są w literaturze dobre rozwinięcia modelu), bo działamy na grupę S – podatnych – oczywiście w ogóle zmniejszamy ją radykalnie.

Powyżej – dwie symulacje – gdzie pomarańczowe krzywe pokazują liczbę zarażonych przy bardziej łagodnym (lewy) i bardziej gwałtownym (prawy) przebiegu.

Dlatego jeśli nikogo nie przekonują zalecenia rządowe – niech przekona… matematyka i niech niedowiarkowie też stosują się do zaleceń. Kwarantanna, izolacja, radykalna zmiana życia społecznego i zamknięcie granic z kontrolą dopływu nowych chorych – ma sens.  Niestety jest też coś niepokojącego w matematycznym opisie –  model SIR jest brutalny – na tych wykresach powyżej (i w klasycznym modelu SIR) w każdym przypadku zaraża się całość populacji (S – podatnych). Dlatego tak ważne (poza „polepszaniem” na naszą korzyść współczynników koronawirusa) jest właśnie izolacja  – zmniejszanie populacji (S) podatnych na wirusa – nasza praca zdalna, unikanie (lub ograniczanie) maksymalnie w miarę możliwości kontaktów to przesunięcie z S do R (i to bez przejścia chorobowego).   SIR pokazuje też, że całkowite rozwiązanie problemu nastąpi dopiero przy zniknięciu możliwości zarażania (może temperatura), wprowadzeniu efektywnych szczepionek lub też „przechorowaniu” wirusa przez większość populacji (co na razie miałoby tragiczny skutek) – dlatego też walczymy z czasem. Model pokazuje więc to co niechętnie, czasami przekazują politycy – nawet jeśli dziś ograniczymy liczbę chorych i zarażonych, to jeśli nie będzie szczepionki – problem może wrócić za rok i znowu musielibyśmy się izolować .

Na sam koniec – pierwsze podejście do modeli i nawet ten prosty SIR pokazuje też nasza „bezradność” w dokładnym prognozowaniu. Koronawirus jest nowy – i nie posiadamy jeszcze dobrego oszacowania współczynników ρ i α tej choroby (a chyba nawet zlekceważyliśmy na początku ten współczynnik infekowania). Nie jesteśmy też w stanie podać wyniku – przepraszam wszystkich którzy przebrnęli przez post, a nie dostali informacji kiedy wszystko się skończy  – na dziś tego dokładnie obliczyć się nie da  – no chyba, że jak mamy nadzieję koronawirus znika w tych wysokich temperaturach więc modlimy się o dwa tygodnie upałów jak najszybciej, i koniecznie trzymamy też kciuki za szczepionkę.

Nie jestem oczywiście specjalistą epidemiologiem, a moje spotkanie z SIR nastąpiło kiedy moja córka wykonywała pracę przedmaturalną (z matematyki) , a ja siłą rzeczy zostałem zatrudniony w formie konsultanta od numerycznego rozwiązywania równań. I nagle okazuje się, że nigdy nie wiadomo co może się przydać!